期末｜工程力学公式默写

组合变形

• $\sigma =$
• 圆柱 $\sigma_{\text{r3}} =$
• 圆柱 $\sigma_{\text{r4}} =$

剪切与挤压

• $\tau =$
• $\sigma_{bs} =$

压杆

• $F_{Pcr} =$
• 两端铰 $\mu =$
• 一端固定、一端自由 $\mu =$
• 一端固定、一端铰支 $\mu =$
• 两端固定 $\mu =$
• 临界应力 $\sigma_{cr} =$
• $\lambda =$
• $\lambda_p =$
• $\lambda \ge \lambda_p$（大柔度杆，用欧拉公式）$\sigma_{cr} =$
• $\lambda_s < \lambda < \lambda_p$（中柔度杆，抛物线/直线公式）$\sigma_{cr} =$
• $\lambda < \lambda_s$（小柔度杆）$\sigma_{cr} =$
• 压杆稳定性 $n =$
• $\sigma =$

动荷系数

• $K_d =$

基本定义（胡克定律等）

• $\sigma =$
• $E =$
• $\epsilon =$
• $\epsilon' =$
• $\nu =$

主应力状态

• $\sigma_{\max}$ (或 $\sigma', \sigma''$) $=$
• $\tan 2\alpha =$
• $\tau_{\max} =$
• $G =$

平面应力

• $\sigma_{\alpha} =$
• $\tau_{\alpha} =$

扭转

• $\tau =$
• $\tau_{\max} =$
• $W_p =$
• 圆柱 $W_p =$
• 圆柱 $I_p =$
• 空心圆 $W_p =$
• 空心圆 $I_p =$
• $T =$ (功率与转速公式)
• $\theta_{\max} =$
• $\varphi =$

截面几何性质

• $I_z =$
• $i_z =$
• $I_{z1} =$ (平行移轴公式)
• $I_{z1y1} =$

弯曲

• 圆柱 $W_z =$
• 空心圆 $W_z =$
• $\sigma_{\max} =$
• $\sigma_c, \sigma_t =$
• $\tau_{\max} =$
• 矩形 $k =$
• 圆形 $k =$
• 工字形 $k =$
• 圆环 $k =$

强度理论（最下方）

• $\sigma_{r3} =$
• $\sigma_{r4} =$

1. 动荷系数（严重错误）

❌ 你写的：$K_d = 1 + \sqrt{1 + (\frac{2h}{\Delta_{st}})^{\mathbf{2}}}$
✅ 正确公式：$K_d = 1 + \sqrt{1 + \frac{2h}{\Delta_{st}}}$
💡 纠错：根号那一项没有平方。这是最容易记混的公式之一，千万注意。

2. 扭转变形（概念混淆）

❌ 你写的：$\varphi = \frac{Tl}{G \mathbf{W_p}}$
✅ 正确公式：$\varphi = \frac{Tl}{G \mathbf{I_p}}$
💡 纠错：算变形（转角）要用惯性矩 $I_p$（刚度相关）；算应力才用 $W_p$。

3. 单位长度扭转角

❌ 你写的：$\theta_{\max} = \frac{T}{G \mathbf{W_p}}$ 或 $\theta = \frac{\tau_{\max}}{G}$
✅ 正确公式：$\theta = \frac{T}{G \mathbf{I_p}} = \frac{\tau_{\max}}{G R}$
💡 纠错：

1. 分母依然是 $I_p$ 不是 $W_p$。
2. 用剪应力换算时，分母要乘半径 $R$。

4. 空心圆截面系数（指数错误）

❌ 你写的（扭转）：$W_p = \frac{\pi d^3}{16}(1-\alpha^{\mathbf{3}})$
❌ 你写的（弯曲）：$W_z = \frac{\pi d^3}{32}(1-\alpha^{\mathbf{3}})$
✅ 正确公式：$(\dots)(1-\alpha^{\mathbf{4}})$
💡 纠错：无论是惯性矩 $I$ 还是截面模量 $W$，括号里的 $\alpha$ 永远是 4次方。

5. 惯性矩定义（积分定义错误）

❌ 你写的：$I_z = \int \mathbf{x^2 dx}$
✅ 正确公式：$I_z = \int_A \mathbf{y^2 dA}$
💡 纠错：

1. 对 $z$ 轴的惯性矩，距离是垂直于轴的距离 $y$。
2. 积分对象是面积微元 $dA$，不是长度 $dx$。

6. 弯曲切应力系数 $k$（数值错误）

❌ 你写的：圆环 $k=1$
✅ 正确数值：圆环（薄壁） $k=2$
💡 纠错：工字形是 1，圆环是 2。

7. 压杆临界柔度 $\lambda_p$（漏项）

❌ 你写的：$\lambda_p = \sqrt{\frac{E}{\sigma}}$
✅ 正确公式：$\lambda_p = \mathbf{\pi} \sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}$
💡 纠错：别忘了 $\pi$ 和分母上的比例极限 $\sigma_p$。

8. 压杆临界应力公式（漏项）

❌ 你写的：$\lambda_s < \lambda < \lambda_p \rightarrow \sigma_{cr} = a - b$
✅ 正确公式：$\sigma_{cr} = a - b\mathbf{\lambda}$
💡 纠错：这是直线公式，后面有变量 $\lambda$。

还需默写的重点：

应力状态：

挠度积分法：

一道列题：

材料拉压力学性能

一、 基本概念

1. 力学性能定义：材料在外力作用下表现出的有关强度、变形方面的特性。
2. 变形的分类：
   • 弹性变形：外力卸除后能消失的变形。
   • 塑性变形（永久变形/残余变形）：外力卸除后不能消失的变形。
3. 材料分类：
   • 塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料（如低碳钢，$\delta > 5\%$）。
   • 脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料（如铸铁、石料，$\delta < 5\%$）。
4. 影响因素：成分、几何形状尺寸、内部结构、受力状态、加载方式、环境（温湿度等）。
5. 试验标准：
   • 标准试件：圆形或矩形截面。
   • 标距公式：$l_0 = 10d$ 或 $l_0 = 5d$。
   • 条件：常温 ($20^\circ C$)、静载（缓慢加载）。

二、 低碳钢拉伸时的力学性能（核心重点）

低碳钢的拉伸过程分为四个阶段：

1. 弹性阶段 ($oe$段)

• 特征：应力与应变成正比，遵循虎克定律 $\sigma = E \cdot \epsilon$。
• 关键指标：
  • 比例极限 ($\sigma_p$)：应力与应变成正比的最高应力值。
  • 弹性极限 ($\sigma_e$)：材料保持完全弹性变形的最高应力值。
  • 弹性模量 ($E$)：$E = \tan\alpha$，代表材料抵抗弹性变形的能力（刚度）。

2. 屈服（流动）阶段 ($es$段)

• 特征：应力波动不大，但应变显著增加。表面会出现与轴线成 $45^\circ$ 的滑移线（吕德斯带）。
• 关键指标：
  • 屈服极限/屈服强度 ($\sigma_s$)：塑性材料的失效应力。

3. 强化阶段 ($sb$段)

• 特征：材料恢复抵抗变形的能力，需要增加载荷才能继续变形。
• 关键指标：
  • 强度极限 ($\sigma_b$)：材料断裂前所能承受的最大名义应力。
• 重要现象：
  • 卸载定律：在塑性变形阶段卸载，应力-应变曲线沿平行于弹性阶段的直线回到横轴。
  • 冷作硬化（冷拉时效）：材料经过预拉伸（产生塑性变形）后，重新加载时，比例极限和屈服极限提高，但塑性（延展性）降低。

4. 颈缩（局部变形）阶段 ($bf$段)

• 特征：试件局部横截面急剧缩小（颈缩），承载能力下降，直至断裂。

三、 其他材料的拉伸性能

1. 无明显屈服现象的塑性材料（如铝合金）

• 由于没有明显的屈服点，规定产生 0.2% 塑性（残余）应变 时的应力作为名义屈服极限。
• 表示符号：$\sigma_{0.2}$（条件屈服点）。
• 确定方法：在 $\epsilon$ 轴取 0.2% 点，作弹性直线的平行线，与曲线交点即为 $\sigma_{0.2}$。

2. 脆性材料（如铸铁）

• 特点：
  • 无屈服过程，无颈缩现象。
  • 断裂前变形很小（无塑性变形）。
  • 强度极限 ($\sigma_b$) 是衡量其强度的唯一指标，且数值较低（120~150 MPa）。

3. 不同钢材对比

• 弹性模量 ($E$)：不同钢材（低碳钢、高碳钢、合金钢）的 $E$ 值基本相同。
• 规律：含碳量越高或合金化程度越高，强度 ($\sigma_b$) 越高，但塑性越差。

四、 塑性指标（韧性指标）

衡量材料塑性好坏的两个指标：

1. 延伸率 ($\delta$)：
   $\delta = \frac{L_1 - L}{L} \times 100\%$
2. 截面收缩率 ($\psi$)：
   $\psi = \frac{A - A_1}{A} \times 100\%$

• 工程分类标准：$\delta > 5\%$ 为塑性材料；$\delta < 5\%$ 为脆性材料。

五、 材料在压缩时的力学性能

1. 低碳钢（塑性材料）

• 屈服强度：压缩屈服极限与拉伸屈服极限大致相等 ($\sigma_{s,c} \approx \sigma_{s,t}$)。
• 强度极限：无明显的压缩强度极限（试件会被压扁但不会像拉伸那样断裂）。

2. 铸铁（脆性材料）

• 强度特点：抗压强度远大于抗拉强度 ($\sigma_{b,c} = 3 \sim 4 \sigma_{b,t}$)。
• 破坏形式：沿 $45^\circ \sim 55^\circ$ 斜截面发生剪切破坏。

3. 性能比较总结

• 低碳钢：抗压 > 抗拉 > 抗剪。
• 铸铁：抗压 > 抗剪 > 抗拉。

六、 许用应力 ($\S 8-3$)

为了保证构件安全工作，工作应力不能超过许用应力 $[\sigma]$。

1. 计算公式：
   $[\sigma] = \frac{\sigma_u}{n}$

   • $\sigma_u$：极限应力。
   • $n$：安全系数 ($n > 1$)。

2. 极限应力 ($\sigma_u$) 的选取：

   • 塑性材料：取屈服极限 ($\sigma_s$ 或 $\sigma_{0.2}$)，因为发生屈服即视为失效。
   • 脆性材料：取强度极限 ($\sigma_b$)，因为断裂才视为失效。

3. 安全系数 ($n$) 的取值：

   • 塑性材料：$n_s = 1.5 \sim 2.0$。
   • 脆性材料：$n_b = 2.5 \sim 3.0$（由于脆性断裂突然且危险，且材质分散性大，故取值较大）。

空心实心各种性能比较

1. 通用“黄金”单位体系 (强烈推荐)

在计算应力 ($\sigma, \tau$) 时，最容易出错的是把米(m)和毫米(mm)混用。建议采用以下**“N-mm体系”**，这样算出来的结果直接就是 MPa，无需再换算小数点。

• 力 (F): 换算成 牛顿 (N) (注意：题目常给 kN，记得 $\times 1000$)
• 长度/尺寸 (L, d, h): 换算成 毫米 (mm)
• 面积 (A): $mm^2$
• 力矩/弯矩 (M, T): 换算成 $N\cdot mm$ (注意：题目常给 $kN\cdot m$，记得 $\times 10^6$)
• 结果 (应力): $N/mm^2 = MPa$

2. 轴向拉伸与压缩 (第2, 3, 22页)

🎯 单位注意

• E (弹性模量): 题目常给 GPa。计算变形 $\Delta L = \frac{FN L}{EA}$ 时，如果用 N-mm 体系，要把 $GPa$ 换算为 $MPa$ (例如 $200 GPa = 200,000 MPa$)。

➕➖ 正负号判断

• 轴力 $F_N$：
  • (+) 正： 拉（背离截面），使杆件变长。
  • (-) 负： 压（指向截面），使杆件变短。
• 变形 $\Delta L$：
  • (+) 正： 伸长。
  • (-) 负： 缩短。

3. 扭转 (第4, 5, 18页)

🎯 单位注意

• 扭矩 T： 题目常给 $kW$ (功率) 和 $r/min$ (转速)。
  • 公式 $T = 9549 \frac{P}{n}$，这里算出来的是 $N\cdot m$。
  • 代入剪应力公式 $\tau = \frac{T \rho}{I_p}$ 时，务必将 $T$ 乘以 1000 变成 $N\cdot mm$。
• 极惯性矩 $I_p$： 单位是 $mm^4$（数值通常很大，不要怕）。

➕➖ 正负号判断 (右手螺旋定则)

• 外力偶矩：
  • 通常根据坐标轴定义，但这不影响内力大小，只影响平衡方程。
• 内力扭矩 $T$ (用于画图和计算)：
  • 右手螺旋定则：四指弯曲方向表示扭矩旋转方向，大拇指指向截面外侧（离开截面）为正 (+)。
  • 大拇指指向截面内侧（指向截面）为负 (-)。
• 扭转角 $\varphi$：
  • 与扭矩 $T$ 的正负一致。

4. 梁的弯曲：剪力图与弯矩图 (第6, 7, 20-22页)

这是最复杂的，也是你笔记第20-22页出错的地方。

🎯 单位注意

• 画图时： 通常用 $kN$ (剪力) 和 $kN\cdot m$ (弯矩)，方便标注。
• 算应力时 ($\sigma = \frac{My}{I_z}$)： 必须换算！
  • $M$ 换成 $N\cdot mm$ ($\times 10^6$)
  • $y$ 换成 $mm$
  • $I_z$ 换成 $mm^4$
  • 结果为 $MPa$

➕➖ 正负号判断

• 剪力 $F_S$：
  • 口诀：左上右下为正 (+)。
  • 使截面微元产生顺时针转动趋势为正。
• 弯矩 $M$：
  • 口诀：下凸为正 (+)（像笑脸 😊，梁向下弯，下侧受拉，上侧受压）。
  • 上凸为负 (-)（像哭脸 ☹️，梁向上弯，上侧受拉，下侧受压）。
  • 注意： 画弯矩图时，通常画在受拉一侧（即正弯矩画在轴线下方），这样不需要标正负号也能看懂。

5. 弯曲应力计算 (重要：针对T型梁/不对称截面)

这是笔记第22页强调的重点。

➕➖ 判断原则

不要死记 $\sigma = -\frac{My}{I}$ 里的负号。推荐用**“物理判断法”**：

1. 判断弯矩正负： 确定梁在危险截面是“笑脸”还是“哭脸”。
   • 如果是正弯矩（下凸）：下边缘受拉 (+)，上边缘受压 (-)。
   • 如果是负弯矩（上凸）：上边缘受拉 (+)，下边缘受压 (-)。
2. 分别计算：
   • $\sigma_{top} = \frac{M \cdot y_{top}}{I_z}$ （根据上一条判断是拉还是压）
   • $\sigma_{bottom} = \frac{M \cdot y_{bottom}}{I_z}$ （根据上一条判断是拉还是压）
3. 校核：
   • 拿算出的拉应力去和抗拉许用应力 $[\sigma_t]$ 比。
   • 拿算出的压应力去和抗压许用应力 $[\sigma_c]$ 比。
   • (注：笔记20页那个题，就是因为没分清楚上下边缘的距离 $y$，导致算错了)。

6. 应力状态与莫尔圆 (第10-13页)

🎯 单位注意

• 全部统一用 $MPa$。角度用度数 ($^\circ$)。

➕➖ 正负号判断

• 正应力 $\sigma$：
  • 拉为正 (+)，压为负 (-)。
• 切应力 $\tau$：
  • 绕单元体中心顺时针转动为正 (+)（注意：这通常是画莫尔圆的规定）。
  • 逆时针转动为负 (-)。
  • (注：有些教材规定相反，请以你们教材为准，笔记第11页写的是“顺正逆负”)。
• 转角 $2\alpha$：
  • 在莫尔圆上，从X轴（代表x面的点）转向主应力点。逆时针转为正。

7. 压杆稳定 (第8, 17页)

🎯 单位注意 (非常容易错)

• 惯性半径 $i = \sqrt{I/A}$： 单位是 $mm$。
• 长度 $l$： 必须用 $mm$。
• 长细比/柔度 $\lambda = \frac{\mu l}{i}$： 无单位。
  • 一定要注意公式里的 $l$ 是由 $m$ 换算成 $mm$ 的，否则算出来的 $\lambda$ 会小1000倍，直接导致选错公式（欧拉公式 vs 经验公式）。

8. 组合变形 (第7, 15, 17页)

核心思路：叠加原理

不要试图背复杂的组合公式，而是分别计算，然后叠加。

1. 拉压 + 弯曲：

   • $\sigma = \sigma_N \pm \sigma_M = \frac{F_N}{A} \pm \frac{M y}{I}$
   • 正负判定：
     • $F_N$：拉(+) 压(-)。
     • $M$：看该点是被弯矩拉伸(+) 还是压缩(-)。
     • 最终符号： 也就是代数和。如果是压应力叠加压应力，绝对值最大。

2. 弯曲 + 扭转 (圆轴)：

   • 第三强度理论 (只适用于塑性材料/钢材)：
     $\sigma_{r3} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2} = \frac{\sqrt{M^2 + T^2}}{W_z}$
     • 这里 $M$ 和 $T$ 的正负不重要，因为有平方。
     • 注意： 分母是抗弯截面系数 $W_z$ (对于圆是 $\frac{\pi d^3}{32}$)，不是抗扭截面系数 $W_p$ (对于圆是 $\frac{\pi d^3}{16}$)。$W_p = 2 W_z$，不要弄混。