工程力学｜学习笔记

【平面应力状态分析 求主应力画主平面】

难点一：挠度

第一页：组合变形与压杆稳定

1. 组合变形 (Combined Deformation):

• 公式：$\sigma = \sigma_N + \sigma_M = \frac{F_N}{A} \pm \frac{M_{max}y}{I_z} \rightarrow \frac{M_{max}}{W_z}$
• 圆柱 (Cylinder):
  • 第三强度理论：$\sigma_{r3} = \frac{1}{W_z}\sqrt{M^2 + T^2}$
  • 第四强度理论：$\sigma_{r4} = \frac{1}{W_z}\sqrt{M^2 + 0.75T^2}$

2. 剪切与挤压 (Shear and Bearing):

• 剪切：$\tau = \frac{F_s}{A}$
• 挤压：$\sigma_{bs} = \frac{F_{pc}}{A_{bs}}$

3. 压杆 (Columns / Buckling):

• 临界力 (Euler Force)：$F_{pcr} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2}$
• 长度系数 $\mu$ (Length factor):
  • 两端铰支 (Pinned-Pinned)：$\mu = 1$
  • 一端固定，一端自由 (Fixed-Free)：$\mu = 2$
  • 一端固定，一端铰支 (Fixed-Pinned)：$\mu = 0.7$
  • 两端固定 (Fixed-Fixed)：$\mu = 0.5$

4. 临界应力 (Critical Stress):

• $\sigma_{cr} = \frac{F_{pcr}}{A} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2 A} = \frac{\pi^2 E}{(\frac{\mu l}{i})^2}$
• 柔度 (Slenderness ratio)：$\lambda = \frac{\mu l}{i}$
• $\therefore \sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$

5. 压杆分类 (Classification based on Slenderness):

• 直线 (Straight Line Formula area):
  • $\lambda \ge \lambda_p$：大柔度杆，用欧拉公式，$\lambda_p = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}$
  • $\lambda_0 \le \lambda < \lambda_p$：中柔度杆，$\sigma_{cr} = a - b\lambda$
  • $\lambda < \lambda_0$：小柔度杆，$\sigma_{cr} = \sigma_{cu}$ (强度极限)

6. 压杆稳定性 (Stability Check):

• 稳定安全系数：$n = \frac{F_{pcr}}{F_p} = \frac{\sigma_{cr} A}{F_p} > n_{st}$
• 稳定校核：$\sigma = \frac{F_p}{A} \le \varphi [\sigma]$

7. 抛物线 (Parabolic formula area - 笔记此处略乱，似在补充说明):

• $\lambda \ge \lambda_c$：欧拉公式 $\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$
• $\lambda < \lambda_c$：$a - b\lambda^2$ (抛物线公式)

8. 动荷系数 (Dynamic Load Factor):

• $K_d = 1 + \sqrt{1 + \frac{2h}{\Delta_{st}}}$

第二页：应力状态、扭转与弯曲

1. 基本定义 (Basics):

• $\sigma = \frac{F}{A}$, $E = \frac{\sigma}{\epsilon}$, $\epsilon = \frac{\Delta l}{l}$, $\epsilon' = \frac{\Delta d}{d}$, $\nu = - \frac{\epsilon'}{\epsilon}$

2. 平面应力状态 (Plane Stress State):

• 主应力：$\sigma_{max}, \sigma_{min} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_x^2}$
• 剪切模量：$G = \frac{E}{2(1+\nu)}$
• 主平面方位角：$\tan 2\alpha = \frac{2\tau_x}{\sigma_x - \sigma_y}$
• 最大剪应力：$\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
• 任意斜截面上的应力：
  • $\sigma_\alpha = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos 2\alpha - \tau_x \sin 2\alpha$
  • $\tau_\alpha = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \tau_x \cos 2\alpha$

3. 扭转 (Torsion):

• 剪应力：$\tau = \frac{T \rho}{I_p}$
• 最大剪应力：$\tau_{max} = \frac{T}{W_p}$, $W_p = \frac{I_p}{R}$
• 截面性质 (Section Properties):
  • 圆柱：$W_p = \frac{\pi d^3}{16}$, $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
  • 空心圆：$W_p = \frac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4)$, $I_p = \frac{\pi D^4}{32}(1-\alpha^4)$ (其中 $\alpha=d/D$)
• 功率与转矩：$T = 9549 \frac{P (kW)}{n (r/min)}$
• 扭转角：$\theta_{max} = \frac{T_{max}}{G I_p}$, $\varphi = \frac{Tl}{GI_p}$

4. 截面几何性质 (Geometric Properties of Sections):

• 惯性矩：$I_z = \int_A y^2 dy$ (应为 dA)
• 惯性半径：$i_z = \sqrt{\frac{I_z}{A}}$
• 平行移轴定理：$I_{z1} = I_z + a^2 A$, $I_{z_1 y_1} = I_{y z} + abA$

5. 弯曲 (Bending):

• 圆柱截面模量：$W_z = \frac{\pi d^3}{32}$
• 空心圆截面模量：$W_z = \frac{\pi D^3}{32}(1-\alpha^4)$
• 弯曲正应力：$\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_z}$, $\sigma_c, \sigma_t = \frac{|M|_{max} y_c}{I_z}$

6. 弯曲剪应力系数 (Shear Stress Factors):

• 公式：$\tau_{max} = K \frac{F_s}{A}$
• 矩形 (Rect)：$K = \frac{3}{2}$
• 圆形 (Circle)：$K = \frac{4}{3}$
• 工字形 (I-beam)：$K \approx 1$
• 圆环 (Ring)：$K = 2$

7. 当量应力 (Equivalent Stress - 对应第一页):

• $\sigma_{r3} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2}$
• $\sigma_{r4} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$

1. 形心计算 $y_c$ (严重错误)

• 你的做法：
  $y_c = \frac{150 \times 50 + 200 \times 50}{250} = 70$
  你用的是“总面积除以总宽度(?)”，这个物理意义是错的。
• 正确做法：
  形心公式必须是面积矩之和除以总面积 ($\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$)。
  • 上翼缘：$A_1 = 150 \times 50 = 7500$，形心 $y_1 = 25$。
  • 腹板：$A_2 = 50 \times 200 = 10000$，形心 $y_2 = 50 + \frac{200}{2} = 150$。
  • 计算：
    $y_c = \frac{7500 \times 25 + 10000 \times 150}{7500 + 10000} = \frac{1687500}{17500} = 96.4\text{ mm}$
• 后果：你算出的 $y_c=70$ 导致中性轴位置偏上，直接导致后续应力计算全部错误。

2. 弯矩图与最大弯矩 (概念模糊)

• 你的做法：画出了 $M_{max} = 40$，这点数值上是碰巧对的，但图形和分析不够清晰。
• 分析：
  • AC段 (左侧)：受 $F_P$ 向下作用，产生负弯矩（上拉下压）。C点左侧弯矩 $M_{C-} = -10 \text{ kN} \times 3 \text{ m} = -30 \text{ kN}\cdot\text{m}$。
  • C截面：突加力偶 $M_e = 70 \text{ kN}\cdot\text{m}$（顺时针）。弯矩图突变：$-30 + 70 = +40 \text{ kN}\cdot\text{m}$。
  • CB段 (右侧)：C点右侧弯矩为 $+40$（下拉上压），向右递减直到墙根 B 点 $M_B = +10$。
  • 结论：危险截面在 C 点右侧，最大弯矩 $M_{max} = 40 \text{ kN}\cdot\text{m}$。

3. 强度校核 (逻辑错误，结论错误)

• 你的做法：
  算出应力 $\approx 27.45 \text{ MPa}$，然后结论写“安全”。
  你可能只算了压力或者用错了 $y$ 距离。
• 正确做法：
  T型截面不对称，必须分别校核受拉和受压。
  在 $M = 40 \text{ kN}\cdot\text{m}$ (正弯矩，下凸) 的截面上：
  • 上边缘 (受压)：距离中性轴 $y_1 = 96.4 \text{ mm}$。
    $\sigma_c = \frac{M \cdot y_1}{I_z} = \frac{40 \times 10^6 \times 96.4}{1.02 \times 10^8} \approx 37.8 \text{ MPa} \quad (< 120 \text{ MPa}, \text{合格})$
  • 下边缘 (受拉)：距离中性轴 $y_2 = 250 - 96.4 = 153.6 \text{ mm}$。
    $\sigma_t = \frac{M \cdot y_2}{I_z} = \frac{40 \times 10^6 \times 153.6}{1.02 \times 10^8} \approx \mathbf{60.2 \text{ MPa}}$
• 结论：
  题目给定的许用拉应力 $[\sigma_t] = 40 \text{ MPa}$。
  $60.2 \text{ MPa} > 40 \text{ MPa}$，超标！
  结构是不安全的！

1. 背熟形心公式：$\bar{y} = \frac{\sum Ay}{\sum A}$，绝对不能把分母写成长度。
2. T型梁必考不对称校核：一旦看到 T 型梁，必须意识到 $y_{top} \neq y_{bottom}$。如果材料的抗拉和抗压许用应力不同（如本题 40 vs 120），必须把上下边缘的应力都算出来，拿大的去比对。
3. 不要为了凑“安全”而强行写结论：计算结果是 60.2，题目要求是 40，那就是不安全。这题的考点就是想让你发现“虽然受压合格，但受拉不合格”。