期末｜12-17

第一部分：工程力学（材料力学）

1. 弹性常数与胡克定律

• 胡克定律： $\sigma = E\varepsilon$
• 泊松比： $\nu = \left| \frac{\varepsilon'}{\varepsilon} \right|$
• 剪切模量与弹性模量： $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$
  **剪切模量与弹性模量推导过程：
• 核心公式： $\boxed{G = \frac{E}{2(1+\nu)}}$

1. 纯剪切： 单元体受剪力 $\tau$，剪应变 $\gamma = \tau/G$。
2. 应力转换： 旋转 $45^\circ$ 后，主应力 $\sigma_1 = \tau, \sigma_2 = -\tau$。
3. 胡克定律： 主方向线应变 $\varepsilon_1 = \frac{1}{E}[\sigma_1 - \nu\sigma_2] = \frac{\tau(1+\nu)}{E}$。
4. 几何关系： 线应变与剪应变满足 $\varepsilon_1 = \gamma/2$。
5. 联立： $\frac{\tau(1+\nu)}{E} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tau}{G}$，得证。

• 题目思路： 涉及 $\Delta \sigma = \frac{\Delta F}{A}$ 的计算，推导 $E, G$。

2. 梁的弯曲（内力与变形）

• 简支梁模型：
  • 全梁受匀布载荷 $q$，跨中弯矩最大：$M_{max} = \frac{ql^2}{8}$。
  • 内力图画法：
    1. 常规法：画剪力图 $F_Q$、弯矩图 $M$。
    2. 极值法：剪力为0处，弯矩取极值。
• 均布载荷弯矩方程：
  • 通用公式思路：$M(x) = (\text{取矩点}\text{左}/\text{右}\text{侧力矩和}) - \frac{1}{2}q(x-x_0)^2$

3. 压杆稳定 & 材料特性

• 欧拉公式（压杆稳定）：
  $F_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2}$
  • $\mu$：长度系数（取决于约束条件）。
• 冷作硬化： 强度硬度$\uparrow$，塑性延伸率$\downarrow$，模量$E$不变。

4. 弯曲应力与刚度

• 弯曲正应力：
  $\sigma = \frac{My}{I_z}, \quad \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_z}$
  • 对于圆形截面：$W_z = \frac{\pi d^3}{32}$。
• 弯曲刚度（挠度）：
  • 挠度 $\delta \propto \int \frac{M(x)}{EI} dx$
  • 结论：$\delta \propto \frac{1}{EI}$。对于圆截面 $I \propto d^4$，故挠度 $\delta \propto \frac{1}{d^4}$（直径对刚度影响极大）。

5. 内力与应力对应表

• 公式形式：$\tau_{max} = k \frac{V}{A}$ （$V$为剪力，$A$为面积）
• 矩形： $k = \frac{3}{2} = 1.5$
• 圆形： $k = \frac{4}{3} \approx 1.33$
• 工字型： $k \approx 1$

6. 强度理论（复杂应力状态）

• 第三强度理论（最大剪应力理论）：
  • 主应力形式： $\sigma_{r3} = \sigma_1 - \sigma_3 \leq [\sigma]$
  • 圆轴弯扭组合：$\sigma_{r3} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2} = \frac{1}{W}\sqrt{M^2 + T^2}$
• 第四强度理论（形状改变比能理论）：
  • 主应力形式：$\sigma_{r4} = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2]} \leq [\sigma]$
  • 圆轴弯扭组合：$\sigma_{r4} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} = \frac{1}{W}\sqrt{M^2 + 0.75T^2}$

第二部分：大学物理

• 求电势 $\varphi$：

  • 定义法/积分法： $\varphi = \int d\varphi = \int \frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r}$
  • 关系法： 利用场强积分 $d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{l}$ （笔记写为 $d\varphi = E \cdot dl$，注意有负号）。

• 求电场 $\vec{E}$：

  1. 叠加法（库仑定律微元）： $d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} \hat{r}$ （适用于非对称分布）。
  2. 高斯定理： $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ （适用于具有球、柱、面对称性的分布）。

• 求磁场 $\vec{B}$：

  1. 叠加法（毕奥-萨伐尔定律）： $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}$，大小 $dB = \frac{\mu_0 I dl \sin\theta}{4\pi r^2}$。
  2. 安培环路定理： $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{in}$ （适用于无限长直导线、螺线管等对称分布）。

基于高斯定理的几个模型：

1. 球对称模型（点电荷/均匀带电球壳）：
   • 公式：$\boxed{E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}}$
2. 轴对称模型（无限长均匀带电直线）：
   • 公式：$\boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}$ （$\lambda$：线密度）
3. 面对称模型（无限大均匀带电平面）：
   • 公式：$\boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$ （$\sigma$：面密度；注意场强与距离无关）

1. 电磁学基础（2013-2014 & 2021-2022 标记块）

• 定则：
  • 左手定则：判断安培力/洛伦兹力方向。
  • 右手螺旋定则：判断电流产生的磁场方向。
• 毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart Law)：
  • 元电流磁场：$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{e}_r}{r^2}$
  • 大小：$dB = \frac{\mu_0 I dl \sin\theta}{4\pi r^2}$
  • 载流直导线磁场： $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$ 【笔记中写的是 $\sin$，取决于角度定义，若 $\theta$ 为与导线夹角则用 $\cos$，若为与垂线夹角则用 $\sin$，需注意正负号】。
  • 无限长直导线：$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$。

基于Biot-Savart Law的几个模型：

1. 无限长直导线模型：
   • 公式：$\boxed{B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}}$
2. 圆电流中心模型：
   • 公式：$\boxed{B = \frac{\mu_0 I}{2R}}$ （若为圆弧则按比例缩放）
3. 长直螺线管内部模型：
   • 公式：$\boxed{B = \mu_0 nI}$ （$n=N/L$，单位长度匝数）
4. 螺绕环模型：
   • 公式：$\boxed{B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}}$ （磁场集中在环内）

• 安培环路定理： $\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum I_{in}$
• 高斯定理（电/磁）：
  • 电场：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
  • 磁场：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$ （磁单极子不存在）。
• 电磁感应：
  • 法拉第定律：$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$。
  • 动生电动势：$\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ （如直棒切割 $E = BLv$）。
  • 自感电动势：$\varepsilon_L = -L \frac{di}{dt}$。
  • 互感电动势：L换成M
  • 互感：$M_{12} = M_{21}$。
  • 磁场能量密度：$w_m = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ （笔记中 $\mu_0$ 写在分母是正确的）。
  • 线圈磁能：$W = \frac{1}{2} Li^2$。

2. 带电粒子在磁场中运动

• 洛伦兹力提供向心力： $qvB = m \frac{v^2}{R}$
• 回旋半径： $R = \frac{mv}{qB}$
• 回旋周期： $T = \frac{2\pi m}{qB}$
• 磁矩： $P_m = IS$ （或 $\vec{m} = I\vec{S}$）。
• 磁力矩： $\vec{M} = \vec{P}_m \times \vec{B}$，大小 $M = BIS \sin\theta$。

3. 近代物理（量子初步）

• 光电效应：
  • 方程：$h\nu = W + E_{k,max}$
  • 截止频率（红限）：$h\nu_0 = W$。
• 德布罗意波（物质波）：
  • 波长：$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
  • 经电压 $U$ 加速后的电子波长：$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$。
• 波尔模型：
  • 能级跃迁：$\Delta E = h\nu = E_n - E_m$。
  • 光谱线系：
• 康普顿效应 (Compton Effect)：
  • $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos\theta)$。
• 相对论（狭义）：
  • 质能方程：$E = mc^2$。
  • 动能：$E_k = mc^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1)m_0 c^2$。