期末｜工程力学

Page 1: 应力与变形基础

基本概念:

• 应力 $\sigma = \frac{F}{A}$ (压强)
• 应变 $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ (无量纲)
• 胡克定律 (弹性定律): $\Delta L = \frac{FL}{EA}$ ($E$: 弹性模量, $EA$: 拉压刚度)
• 强度计算: $\sigma_{\max} = \frac{F_{\max}}{A} \le [\sigma]$
• 轴力图: 拉为正，压为负。
• 温度变形: $\Delta L = \alpha \Delta T L$
• 泊松比: $\nu = \frac{|\epsilon'|}{\epsilon} = \frac{\text{横向变化率}}{\text{长度变化率}}$

安全系数: $n_s$, 许用应力 $[\sigma] = \frac{\sigma_{\max}}{n_s}$

扭转:
$\psi \cdot l = \varphi \cdot R$
剪应变 $\gamma$, 扭转角 $\varphi = \frac{T l}{G I_p}$
电机功率 $P$: $T (\text{N}\cdot\text{m}) = 9549 \frac{P (\text{kW})}{n (\text{r/min})}$
剪切胡克定律: $\tau = G \gamma$ ($G = \frac{E}{2(1+\nu)}$)
切应力 $\tau_{\rho} = \frac{T \rho}{I_p}$ ($\tau \le \tau_p$)

极惯性矩 $I_p$:
$I_p = \int_A \rho^2 dA$

• 实心圆: $I_p = \frac{\pi D^4}{32}$
• 空心圆: $I_p = \frac{\pi D^4}{32} (1 - \alpha^4)$ ($\alpha=d/D$)
  最大切应力 $\tau_{\max} = \frac{T}{W_p}$
  抗扭截面系数 $W_p$: 实心 $\frac{\pi D^3}{16}$, 空心 $\frac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4)$

薄壁圆筒:
$\tau = \frac{T}{2 A_0 t}$ ($A_0$: 圆周面积)

斜截面应力:
$\sigma = \sigma \cos^2 \alpha$ (?) 注：此处笔记公式较为简略，通常单向拉伸斜截面 $\sigma_\alpha = \sigma \cos^2 \alpha, \tau_\alpha = \frac{\sigma}{2} \sin 2\alpha$]

刚度计算:
$\theta_{\max} = \frac{T}{G I_p} \le [\theta]$
满足 $\tau_{\max} \le [\tau]$ 且 $\theta_{\max} \le [\theta]$

Page 2: 应力状态分析

应力张量:
$\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}$
切应力互等: $\tau_{xy} = \tau_{yx}$

主平面与主应力:
主平面: 切应力为0的面。
主应力: $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$

薄壁容器:

• 轴向应力: $\sigma_m (\pi D \delta) = P \frac{\pi D^2}{4} \Rightarrow \sigma_m = \frac{PD}{4\delta}$
• 环向应力: $\sigma_t (2 dx \delta) = P D dx \Rightarrow \sigma_t = \frac{PD}{2\delta}$

二向应力状态 (平面):
斜截面应力:
$\sigma_\alpha = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \cos 2\alpha - \tau_{xy} \sin 2\alpha$
$\tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \sin 2\alpha + \tau_{xy} \cos 2\alpha$
(注：符号约定不同公式会有正负号差异，笔记中使用了莫尔圆图解)

莫尔圆:
圆心 $C(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}, 0)$, 半径 $R = \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$
主应力:
$\sigma_{\max, \min} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$
最大切应力: $\tau_{\max} = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2}$

广义胡克定律:
$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \mu(\sigma_2 + \sigma_3)]$
$\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}$
平面: $\sigma_x = \frac{E}{1-\mu^2} [\epsilon_x + \mu \epsilon_y]$

Page 3: 强度理论与梁的弯曲

弹性应变能 $V_\epsilon = W$
体应变能密度 $V_v$, 形状应变能密度 $V_d$
总能量密度 $v_\epsilon = v_v + v_d$

四大强度理论:

1. 最大拉应力理论: $\sigma_1 \le [\sigma]$ (脆性材料)
2. 最大伸长线应变理论: $\sigma_1 - \mu(\sigma_2+\sigma_3) \le [\sigma]$
3. 最大切应力理论: $\sigma_1 - \sigma_3 \le [\sigma]$ (塑性材料，$\tau_{\max}$判据)
4. 畸变能密度理论: $\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2]} \le [\sigma]$ (Von Mises)

梁的内力:
剪力 $F_s$, 弯矩 $M$
微分关系: $\frac{dF_s(x)}{dx} = q(x)$, $\frac{dM(x)}{dx} = F_s(x)$
叠加原理

截面几何性质:
静矩 $S_z = \int_A y dA$, 形心 $y_c = \frac{S_z}{A}$
惯性矩 $I_z = \int_A y^2 dA$
平行移轴定理: $I_{z'} = I_z + A d^2$ (其中 $z$ 为形心轴)
惯性积 $I_{xy} = \int xy dA$ (对称轴则为0)

常见截面 $I_z$:

• 矩形: $\frac{bh^3}{12}$
• 圆形: $\frac{\pi D^4}{64}$
  抗弯截面系数 $W_z = \frac{I_z}{y_{\max}}$
  弯曲正应力: $\sigma = \frac{M y}{I_z}$, $\sigma_{\max} = \frac{M_{\max}}{W_z}$

Page 4: 弯曲变形与压杆稳定

弯曲切应力:
$\tau = \frac{F_s S_z^*}{b I_z}$ (矩形截面 $\tau_{\max} = \frac{3}{2} \frac{F_s}{A}$, 圆形 $\frac{4}{3}$)

挠曲线近似微分方程:
$E I_z w''(x) = - M(x)$
$w(x)$: 挠度, $\theta(x) = w'(x)$: 转角
积分法求变形，边界条件定常数。
刚度条件: $|w_{\max}| \le [w]$, $|\theta_{\max}| \le [\theta]$

组合变形:

• 拉/压 + 弯曲: $\sigma = \frac{F_N}{A} \pm \frac{M}{W_z}$
• 偏心拉压: $\sigma = \frac{F_N}{A} \pm \frac{M_y}{I_y} z \pm \frac{M_z}{I_z} y$
• 弯扭组合:
  $M_{eq} = \sqrt{M^2 + T^2}$ (第三强度理论)
  $M_{eq} = \sqrt{M^2 + 0.75 T^2}$ (?) (通常第四强度理论系数不同，笔记此处写了近似公式)

连接件剪切与挤压:
剪切 $\tau = \frac{F}{A} \le [\tau]$
挤压 $\sigma_{bs} = \frac{F}{A_{bs}} \le [\sigma_{bs}]$ ($A_{bs}$为投影面积)

压杆稳定:
欧拉公式 (临界力):
$F_{cr} = \frac{\pi^2 E I_{\min}}{(\mu l)^2}$
$\mu$: 长度系数

• 两端铰支 $\mu=1$
• 一端固支一端自由 $\mu=2$
• 两端固支 $\mu=0.5$
• 一端固支一端铰支 $\mu \approx 0.7$
  临界应力 $\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$ ($\lambda = \frac{\mu l}{i}$, 柔度/长细比)

动荷载:
动荷系数 $K_d = 1 + \frac{a}{g}$
冲击: $K_d = 1 + \sqrt{1 + \frac{2h}{\Delta_{st}}}$

Page 5: 梁的挠度公式 (附录)

悬臂梁受集中力 $F$: $w(x) = \frac{F x^2}{6EI} (3l - x)$
悬臂梁受均布载荷 $q$: $w(x) = \frac{q x^2}{24EI} (x^2 + 6l^2 - 4lx)$