期末刷题1:00-8:00pm

• 2021-2022大学物理期末真题（耗时过长）
  

难点1:电势的计算，法1: 积分 法2:叠加
难点2:磁场强度计算，法1:比奥萨伐尔定律 法2:安培环路定则
难点3:近代物理部分都不熟悉，需要会看PPT
难点4:电磁感应模块 T23，动生 感生的题量积累都太少

掌握了量子数题型、狭义相对论题型、光谱线题型

笔记

1. 电介质与高斯定理

• 核心公式：
  • 有介质的高斯定理：$\oint \vec{D} \cdot d\vec{A} = \sum q_{\text{free}}$
  • 电位移矢量定义：$\vec{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E}$
  • 重要结论：（高斯定理推导）$D = \sigma_{\text{free}}$
• 易错点辨析（笔记重点）：
  • 场景：电容器始终连接电源（电压 $U$ 不变），插入电介质 $\varepsilon_r$。
  • 变化推导：
    1. $U$ 不变 $\rightarrow$ $E$ 不变 ($E=U/d$)。
    2. 插入介质 $\rightarrow$ $\varepsilon_r > 1$。
    3. 由 $D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E$ $\rightarrow$ $D$ 变大。
    4. 由 $D = \sigma$ $\rightarrow$ 极板自由电荷 $\sigma$ 变大。

2. 电势计算 (典型模型)

• 通用方法：
  1. 积分法：$U = \int \vec{E} \cdot d\vec{l}$
  2. 叠加法：$U = \int \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r}$
• 必背模型：均匀带电圆盘
  • 圆心处电势公式：
    $U_{\text{center}} = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$
  • (注：推导过程涉及微元 $dq = \sigma 2\pi r dr$ 的积分)

3. 磁场与磁力矩

• 毕奥-萨伐尔定律 (微分)：
  $d\vec{B} = \frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4\pi r^3}$
• 圆电流中心的磁场：
  $B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$
  (注意：若是半圆，系数除以2；若是1/4圆，系数除以4)
• 磁矩与磁力矩：
  • 磁矩 (Magnetic Moment)：$\vec{P}_m = I S \vec{n}$ (其中 $S=\pi R^2$ 对于圆环)
  • 磁力矩 (Torque)：$\vec{\tau} = \vec{P}_m \times \vec{B}$
  • 电流计算技巧：$I = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2\pi}$

4. 电磁感应

• 自感电动势：
  $\mathcal{E}_L = -L \frac{di}{dt}$

5. 电磁能量对比 (背诵表格)

1. 波粒二象性

• 光子能量与频率：
  $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
• 德布罗意波长 (实物粒子)：
  $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
• 康普顿散射 (Compton Scattering)：
  • 波长偏移公式：
    $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \theta)$
  • 注意：$\Delta \lambda$ 仅与散射角 $\theta$ 有关，与入射波长无关。

2. 原子结构与量子数

• 四个量子数 (描述电子状态)：

  1. 主量子数 $n$：$1, 2, 3, \dots$ (决定电子壳层能量)。
  2. 角量子数 $l$：$0, 1, \dots, n-1$ (决定轨道形状)。
     • 记忆：$s(0), p(1), d(2), f(3)$。
  3. 磁量子数 $m_l$：$0, \pm 1, \dots, \pm l$ (决定轨道空间取向)。
     • 对于由于某 $l$，轨道数为 $2l+1$。
  4. 自旋量子数 $m_s$：$\pm \frac{1}{2}$。

• 电子排布规则：

  • 泡利不相容原理：同一原子中没有两个电子的四个量子数完全相同。
  • 层容量：第 $n$ 层最多容纳电子数 = $2n^2$。
  • 轨道数验证：$\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = n^2$ (轨道数)，乘以2(自旋)即为 $2n^2$。

1. 洛伦兹因子

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \quad (\gamma \ge 1)$

2. 时空效应

• 时间膨胀 (动钟变慢)：
  $\Delta t = \gamma \Delta t_0$
  • $\Delta t_0$：原时（固有时间，在同一地点测量的时间间隔）。
• 长度收缩 (动尺变短)：
  $L = \frac{L_0}{\gamma}$
  • $L_0$：原长（静止长度）。

3. 相对论动力学

• 质能方程：
  • 静止能量：$E_0 = m_0 c^2$
  • 总能量：$E = \gamma m_0 c^2 = m c^2$
• 动能公式：
  $E_k = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0 c^2$
  *(切记：不能再用 $\frac{1}{2}mv^2$ 计算高速粒子的动能)

🆘🆘🆘真得好好练字了

一、选择题 (1-10题)

• 1. 同心球面的场强分布

  • 考点逻辑：高斯定理的“选取面包围电荷”。
  • 分析：求两球面之间 ($R_1 < r < R_2$) 的场强时，高斯面内只包含内球面的电荷 $Q_1$。外球面的电荷 $Q_2$ 对内部无贡献。

• 2. 介质表面的自由电荷

  • 笔记推导：
    1. 由介质中的高斯定理 $\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_{free}$ 推导出 $D$ 的数值等于自由电荷面密度 $\sigma$。
    2. 关系链：$\sigma = D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E$。
  • 易错点：不要直接用 $E = \sigma/\varepsilon_0$，介质中需考虑 $\varepsilon_r$。

• 4. 平板电容器的能量变化 (抽拉介质)

  • 解题模型：
    • 图(a) 连电源：$U$ 不变。介质抽出 $\to \varepsilon_r \downarrow \to C \downarrow$。根据 $W = \frac{1}{2}CU^2$，能量减小。
    • 图(b) 断电源：$Q$ 不变。介质抽出 $\to C \downarrow$。根据 $W = \frac{Q^2}{2C}$，能量增加。
  • 关键：根据是否连电源选择正确的能量公式形式。

• 5. 宽铜片电流的磁场

  • 微元法构建：
    • 不能直接用无限长直导线公式。
    • 模型：将宽为 $a$ 的铜片切分为无数根宽度为 $dx$ 的细导线。
    • 电流微元：$dI = \frac{I}{a} dx$。
    • 积分设定：$B = \int \frac{\mu_0 dI}{2\pi x}$，积分限从近端 $b$ 到远端 $b+a$。

• 6. 霍尔效应 (Hall Effect)

  • 平衡条件：洛伦兹力 = 电场力 ($qvB = qE$)。
  • 电流微观表达式：$I = nqvS$ (其中 $S = d \cdot h$)。
  • 推导结果：结合上述两式消去 $v$，导出霍尔电压或电荷密度 $n$ 的关系。

• 9. 量子数的取值规则

  • 辨析：
    • 轨道角动量：$L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$ (与 $l$ 有关)。
    • 角动量Z轴分量：$L_z = m_l \hbar$ (与 $m_l$ 有关)。
  • 笔记提醒：$n=3$ 时，最大 $l=2$，对应的 $L=\sqrt{6}\hbar$，而不是直接用 $n$ 计算。

• 10. 氢原子量子态的存在性

  • 层级规则：
    1. $n$ 为正整数。
    2. $l$ 必须取 $0$ 到 $n-1$。
    3. $|m_l| \le l$。
    4. $m_s = \pm 1/2$。
  • 排错：直接利用上述不等式排除不合法的量子数通过组合。

二、填空题 (11-20题)

• 11. 均匀带电圆盘的电势

  • 微元模型：将圆盘看作无数个圆环的叠加。
  • 积分思路：
    • 圆环微元电量：$dq = \sigma \cdot 2\pi r dr$。
    • 圆环上所有点到圆心距离相等，直接标量积分：$U = \int \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r}$。

• 15. 弯曲导线在磁场中的安培力

  • 等效原理：在均匀磁场中，弯曲导线 (1/4圆弧) 受到的安培力 $\vec{F}$ 等于连接其起点和终点的直导线受到的力。
  • 计算：有效长度 $L_{eff} = \sqrt{2}R$。

• 16. 旋转带电圆环的磁矩

  • 电流等效：电荷随圆环旋转形成的等效电流 $I = \frac{q}{T} = \frac{\lambda (2\pi R) \omega}{2\pi} = \lambda \omega R$。
  • 磁矩定义：$P_m = I \cdot S_{area}$，即电流乘以圆环面积。

• 19. 电子的德布罗意波长 (磁场中)

  • 组合推导：
    1. 洛伦兹力提供向心力 $\to$ 求动量：$qvB = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow p = mv = eBR$。
    2. 波长公式：$\lambda = \frac{h}{p}$。
  • 结论：直接将 $p=eBR$ 代入波长公式，无需算出速度 $v$。

• 20. 特定条件下的最大电子数

  • 限制条件：给定主量子数 $n=4$ 且 自旋 $m_s$ 固定为 $1/2$。
  • 计数逻辑：通常满壳层是 $2n^2$，但由于锁定了自旋方向（只取一半），电子数 = 轨道数 = $n^2 = 16$。

三、计算题 (21-23题)

• 21. 非均匀带电半圆环的场强

  • 对称性分析：由于 $\lambda = \lambda_0 \sin\phi$ 关于 $y$ 轴对称，$x$ 轴方向的分量相互抵消，只需积分 $y$ 轴分量。
  • 积分构建：$dE_y = dE \sin\phi = \frac{\lambda dl}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \sin\phi$。
  • 难点：积分项会出现 $\sin^2\phi$。

• 22. 同轴电缆的磁场分布

  • 安培环路定理应用：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{in}$。
  • 区域划分逻辑：
    1. 内部 ($r < R_1$)：包围的电流与面积成正比，$I_{in} = I \frac{r^2}{R_1^2}$ (假设均匀)。
    2. 中间 ($R_1 < r < R_2$)：包围内导体全部电流 $I$。
    3. 外部 ($r > R_2$)：若内外导体电流大小相等方向相反，总电流为0，磁场为0。

• 23. 矩形线圈平移的动生电动势

  • 切割分析：只有垂直于速度方向的两根边 (长为 $L$) 切割磁感线。
  • 非均匀场：两根边所处的磁感应强度 $B$ 不同。
  • 计算式：$\mathcal{E} = \mathcal{E}_{\text{近}} - \mathcal{E}_{\text{远}} = B(a)Lv - B(a+2a)Lv$。

四、简答题 (24-25题)

• 24. 相对论时空观

  • 系的区别：
    • $\Delta t_0$ (原时)：在飞船参照系（自身）测量的时间。
    • $\Delta t$ (测量时)：在地面/另一飞船参照系测量的运动时间。
  • 关系：运动的时间变慢（数值变大），$\Delta t = \gamma \Delta t_0$。需先求出 $\gamma$。

• 25. 氢原子光谱 (巴耳末系)

  • 隐含条件：
    • “巴耳末系” $\implies$ 电子跃迁回 $n=2$ 的能级。
    • “仅观察到三条” $\implies$ 对应跃迁起点为 $n=3, 4, 5$。
  • 波长对应：
    • 最长波长 $\leftrightarrow$ 能量差最小 $\leftrightarrow$ 从 $n=3$ 跃迁到 $n=2$。
  • 激发能量：
    • 若问入射光频率（激发），通常指从基态 ($n=1$) 激发到最高观测态 ($n=5$) 所需的能量。

赶马原论文8:00-12:00pm

《从人与自然关系视角出发，论社会主义生态文明建设的三次“革命”》

才三千字就收我六块钱，真难过了